Tioneb, voici l'explication telle que je la conçois après réflexion (mais attention, dans tout cela il y a une part de simplification, voir un peu plus loin).
En réalité la formule que tu donnes :
N = R/r*µs/µd*M*g
... est juste et elle permet de déterminer quelle doit être la valeur de la force normale que les étriers doivent appliquer sur les disques (avec les plaquettes entre les deux) pour que la force de forttement statique transmise entre la roue et le sol soit la plus optimale possible (c'est-à-dire maximale, mais sans glissement de la roue sur le sol, c'est-à-dire à la limite du "cône de frottement statique", c'est-à-dire égale à µs*M*g).
C'est d'ailleurs une des raisons pour lesquelles dans tout ce que j'écris au cours de ces discussions je précise bien que je suppose que le système de freinage du véhicule est correctement dimensionné au regard de la masse - ou plutôt du PTAC - du véhicule, autrement dit que, entre autres choses, ce système permet de délivrer une force de serrage des étriers sur le disque au moins égale à la valeur ci-dessus (plus tout le reste, notamment valeurs suffisantes de résistance des disques, résistance des plaquettes, capacité à dissiper la chaleur dégagée, etc).
Mais bien entendu le conducteur est libre d'appliquer une pression sur la pédale de frein (donc une force normale des étriers sur le disque, via le circuit hydraulique), i) moins forte que ce qui est nécessaire, ou bien (si le système de freinage le permet, c'est-à-dire s'il est surdimensionné), ii) plus forte que ce qui est nécessaire.
Dans le cas i) il est évident que le résultat de tout ça, c'est que la distance de freinage va s'allonger, tout simplement parce que le conducteur ne freine pas assez pour obtenir la distance minimale théorique (mais il aurait pu freiner plus fort, puisque son système de freinage le permettait en réalité - était dimensionné pour). On est donc sorti des hypothèses que j'utilise depuis le départ (freinage optimal = suffisamment fort, avec un système correctement dimensionné pour ça).
Le cas ii) est plus intéressant : il existe dans nos véhicules modernes un système qui limite la valeur de N, et la "contraint" en réalité à respecter l'égalité donnée par ta formule (ou à peu près, dans les détails c'est un peu plus compliqué, voir ma dernière remarque tout en bas). Ce système c'est... l'ABS. Si N dépasse la valeur de l'égalité donnée par ta formule, ce qui se passe, c'est que la force de frottement du pneu sur la chaussée "sort" du "cône de frottement statique", c'est-à-dire de la limite maximum de cette force déterminée par les caractéristiques de la chaussée et du pneu : le pneu ne roule plus sur la chaussée, il se met à glisser. Conséquence : la roue se bloque. Intervention de l'ABS : intervention sur le circuit hydraulique et réduction imposée à la force N (de pression des étriers sur le disque), jusqu'à revenir à la limite du glissement, tout ça par brefs cycles autour de cette valeur limite.
Conclusion, on peut toujours ralonger la distance de freinage à l'initiative du conducteur (on pourrait même ne pas freiner du tout), mais si on veut avoir une distance de freinage minimale, on n'a pas le choix, il faut imposer une force N qui respecte cette égalité. Freiner plus fort n'y changera rien, l'ABS entre en jeu pour limiter la force de frottement des plaquettes sur le disques à la valeur maximale "permissible" avant blocage des roues.
A mon avis, c'est d'ailleurs pour cela que les tests qu'évoquait Klawal un peu plus haut dans cette discussion ne donnent pas de résultats (distance de freinage) très peu différents (différence d'1m seulement environ) entre un véhicule à pleine charge (autorisée) et le même véhicule à vide. Le système de freinage de nos véhicules est très probablement dimensionné pour être optimal pour le PTAC de ce véhicule. Donc, sur une chaussée donnée, avec des pneus donnés et à une vitesse donnée, la distance de freinage optimale (minimale) est donnée par une équation qui ne dépend plus de la masse, mais seulement des paramètres que je viens de citer. Maintenant si on recommence à faire le même freinage avec tout pareil (chaussée, pneus, vitesse initiale) mais le véhicule à vide, le système de freinage est "surdimensionné", N est trop forte, l'ABS entre en jeu pour la limiter à la force nécessaire, et la distance de freinage totale n'est de ce fait pas (ou très peu) modifiée.
Corrolaire supplémentaire, tout ce que je décris dans mes différents messages ne vaut pas pour les véhicules de course (conçus comme tels, pour la compétition, pas homologués pour rouler sur une route ouverte avec un certain PTAC) ni, fort probablement (même si je ne suis pas tout à fait sûr), pour les poids lourds :
* véhicules de course : comme l'ennemi, c'est la masse (pour d'autres raisons qui ne sont pas liées au freinage, telles que capacité d'accélération en tenant compte des aides plaquant le véhicule au sol - ailerons ou autres - ou problème d'accélération latérale en virage, à limiter autant que possible), il faut aussi réduire la masse du système de freinage lui-même : il n'est donc plus nécessairement dimensionné pour un PTAC donné, avec la "marge" d'une charge utile, mais dimensionné pour être optimal sur un véhicule "à vide" (ou presque, juste le pilote et ce qu'il faut de carburant). Donc si on augmente la masse de ce véhicule de course, son système de freinage (qui est déjà proche de sa limite) risque d'être dépassé, surtout dans les conditions normales de course, c'est-à-dire à haute vitesse (rappelons que la vitesse influe sur l'énergie cinétique beaucoup plus que la masse, puisqu'elle intervient au carré).
* Poids lourds : un PL à 4 essieux a un PTAC max de 38 tonnes, soit 20 x plus qu'un véhicule de tourisme de 1,9t. Même en divisant par le nombre d'essieux (2x plus que sur un VL, 4 contre 2), il faut faudrait un système de freinage 10x plus efficace (capable de délivrer une force normale 10 x plus forte) des étriers sur les freins, pour assurer une force de frottement statique sur la chaussée égale au maximum possible (NB : je ne tiens pas compte de la surface additionnelle des pneus sur la chaussée, je ne suis pas sûr que ça joue de façon linéaire, et qui plus est je pense que l'effet est plus lié à la masse par cm2 qu'à la surface de liaison en tant que telle, je pourrai expliquer pourquoi). Bref, pour le coup je ne suis pas certain que le système de freinage d'un PL soit dimensionné (ou dimensionnable) pour délivrer une force de freinage optimale à pleine charge (ou alors bonjour les plaquettes, leur usure, la quantité de chaleur à dissiper au niveau des disques, etc). Dans ce cas, une fois qu'on est à la limite de ce que ce système de freinage peut faire, ajouter du poids supplémentaire (même en restant à une valeur inférieure ou égale à la pleine charge autorisée) aura une influence sur la distance de freinage.
Pour finir, ce que j'ai "négligé" (simplifié) dans tout ça (entre autres choses) : je ne tiens en effet pas compte du moment d'inertie des roues, comme tu l'as bien noté. Il a sûrement un effet, mais probablement négligeable. De même (et ça a en réalité une influence pas forcément négligeable dans tous les cas), je ne tiens pas compte du transfert de masse au moment du freinage (moment de tangage imprimé au véhicule au moment du freinage, du fait que la force de frottement statique de la chaussée sur les pneus ne s'applique pas directement au niveau du centre de gravité du véhicule, mais au niveau du point de contact des pneus et de la chaussée) : en phase de freinage l'essieu avant est "chargé" plus fort en réalité que l'essieu arrière, et la limite du cône de frottement statique est plus élevée de ce fait sur les roues avant (elles pourraient freiner plus fort avant de se bloquer) que sur les roues arrière. En réalité cela peut avoir un effet dans la gestion du système ABS. Dernière chose, dans la réalité l'ABS autorise un blocage partiel de la roue (un glissement partiel du pneu sur la chaussée) d'environ 20 à 30% (selon les docs techniques BMW en tout cas), la limitation de la force N n'est pas exactement brutale comme je le décris par simplification, mais l'idée générale reste la même, avec la conclusion qui en découle.
